Cet article a été honteusement pompé ici.
Mais je fais l’effort de le traduire en Français (en espérant que ça aide du monde) !

Lorsque vous tentez de faire une mise à jour automatique via le menu « Faire une mise à jour », en cliquant sur le bouton « Mettre à jour automatiquement » et que vous tombez toujours sur l’erreur :

"Le téléchargement a échoué.: Operation timed out after 60 seconds with XXX out of XXX bytes received"
Il vous suffit d’éditer ce fichier :

wp-admin/includes/file.php

Dans ce fichier cherchez le timeout de 60 secondes :

$response = wp_remote_get($url, array('timeout' => 60));

Il vous suffit de changer le « 60 » par un chiffre plus grand. Par exemple moi il avait récupéré un peu plus du tiers : « 994616 out of 2836678 » bytes received. J’ai multiplié le timeout par 3 et tout a fonctionné :

$response = wp_remote_get($url, array('timeout' => 180));